Lorsqu’on veut attraper un chamallow, on repère d’abord sa position dans l’espace avec nos yeux, puis on doit ensuite déplacer la main sur sa position. Pour bouger notre main, nous agissons uniquement sur la longueur de nos muscles. Il faut alors résoudre un problème cinématique inverse, qui consiste à trouver quelles sont les longueurs de muscle qui nous permettent de positionner la main sur le chamallow. Cela revient à résoudre un systèmes d’équations polynomiales en plusieurs variables. Nous allons voir ici une suite de méthodes qui permettent de trouver toutes les solutions complexes d’une équation polynomiale en une variable d’abord, puis d’un système d’équations en plusieurs variables.

Quelques prérequis. Tout d’abord, le théorème de Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko, fondamental pour compter le nombre de solutions d’un système polynomial. Il s’appuie sur le volume mixte, notion très géométrique pour laquelle il est utile d’avoir vu quelques dessins. Nous utiliserons aussi des polytopes de Newton, et la méthode de Newton (en particulier pour les fonctions multivariées). Enfin, le théorème du point fixe de Brouwer nous servira à garantir l’existence d’une racine dans une certaine boîte.