Les fonctions convexes ont deux principales définitions. La première, générale et dite synthétique, définit la convexité à travers la position relative du graphe et d’une corde. La deuxième, dite lisse (positivité de l’éventuelle dérivée d’ordre deux), est plus restrictive, mais offre d’avantage d’effectivité. Avoir un catalogue similaire pour l’étude de la courbure — notion géométrique essentielle — serait grandement utile.

Dans cet exposé, nous explorons la notion de courbure de Ricci positive et minorée. Habituellement définie de manière calculatoire, nous voulons en donner une caractérisation synthétique. Cet objectif nous mène à établir des liens entre la géométrie (courbures, géodésiques, espaces de longueurs), la physique mathématique (gaz, entropie de Bolztmann) et le transport optimal (de Kantorovitch). La définition à laquelle nous parvenons, d’apparence plus abstraite, et mêlant tous ces ingrédients, permet de démontrer des résultats fondamentaux.

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